MA 02 - Základní pojmy - zobrazení

Matematická analýza, kapitola druhá, vymezení základních pojmů z oblasti zobrazení.

Zobrazení

Mějme X, Y neprázdné množiny, předpis f přiřazuje každému x ∈ X nějaký prvek y ∈ Y. Zpravidla tento prvek y značíme jako f(x). Každý takový předpis je pak nazýván zobrazení množiny X do množiny Y. Matematicky jej značíme buď f : X → Y, anebo f : x → f(x), x ∈ X. Obecně tedy máme X,Y ≠ ∅ a nechť f ⊂ X × Y, pro kterou platí:

(∀x ∈ X)(∃y ∈ Y)((x,y) ∈ f)
(((x,y1) ∈ f) ∧ ((x,y2) ∈ f)) ⇒ y1 = y2

Je zapotřebí si uvědomit, že zobrazení je vždy určeno na dané množině, proto f : x → x², x ∈ (0,1) a g : x → x², x ∈ (0,2), jsou dvě rozdílná zobrazení.

Pokud provedeme zobrazení pro množinu A ⊂ X, tedy x → f(x), x ∈ A, pak hovoříme o zúžení neboli restrikci. Podobně lze definovat rozšíření.

Mějme dány množiny X, Y, pro něž existuje zobrazení f : X → Y, pak říkáme, že

D(f) = X je definiční obor f
H(f) = {y ∈ Y; (∃x ∈ X)(y = f(x))} je obor hodnot f

Obecněji lze provést definici takto: Pro A ⊂ X, B ⊂ Y, máme:

f(A) = {f(x); x ∈ A} ⊂ Y
f‾¹(B) = {x ∈ X; f(x) ∈ B} ⊂ X

Obraz množiny A je f(A) a platí H(f) = f(X), vzor množiny B je pak f‾1(B) a platí D(f) = X = f‾1(Y).

Například pro f : x → 5, x ∈ (-5,2) je f([-1,1]) = {5}, f‾¹(3) = ∅, f‾¹(5) = (-5,2).

Zobrazení f : A → B, pro které existuje b ∈ B tak, že H(f) = {b}, se nazývá konstantní zobrazení. Jestliže pro f : A → A platí f(x) = x, x ∈ A, nazývá se pak f identické zobrazení na A, zjednodušeně pak identita na A.

Je-li f : X → Y a f(X) = Y, říkáme, že f zobrazuje X na Y; toto zobrazení se nazývá surjekce. Jesltiže má zobrazení f vlastnost (f(x1) = f(x2)) ⇒ (x1 = x2), jinak řečeno pro každé y ∈ Y existuje nejvýše jeden vzor f‾¹(y), nazývá se pak prosté zobrazení neboli injekce. Je-li pak zobrazení f zobrazením na a je-li současně prosté, nazýváme jej bijekce (vzájemně jednoznačné zobrazení) X na Y.

Nechť f : A → B, g : C → D jsou zobrazení a nechť platí f(A) ∩ C ≠ ∅. Potom f‾¹(B ∩ C) ≠ ∅ a lze definovat zobrazení

Někdy bývá značeno g ∗ f a značíme jej složené zobrazení ze zobrazení g a f.

Je-li f : N → B, nazýváme f posloupnost prvků množiny B.

Nechť pro n ∈ N existuje bijekce, která zobrazuje množinu {1,2,…,n} na A. Říkáme pak, že A je množina o n prvcích. Číslo n budeme označovat #A a nazývat jej mohutnost množiny neboli kardinalita, či kardinální číslo množiny A. Pro prázdnou množinu definujeme #∅ = 0. Pokud #A náleží do množiny nezáporných celých čísel (), pak tuto množinu nazýváme konečná množina. Ostatní množiny jsou pak nekonečné množiny. Existuje-li bijekce množiny N na A, pak říkáme, že množina A je nekonečná spočetná množina.

Každá podmnožina je spočetná. Neprázdná množina A je spočetná, právě když existuje prosté zobrazení f množiny A do . Neprázdná množina A je spočetná, právě když existuje zobrazení na A.

Jsou-li množiny A a B spočetné, je spočetná i množina A × B.

Množina všech celých čísel i racionálních čísel je spočetná. Množina čísel reálných spočetná není.

Jestliže je f : X → Y a Y ⊂ , pak nazýváme f reálnou fukncí. Obdobně jestliže je f : X → Y a Y ⊂ , pak nazýváme f komplexní funkcí. Je-li navíc X ⊂ , nazýváme f reálná (komplexní) funkce reálné proměnné.

Jestliže je f : →, pak nazýváme f posloupnost reálných čísel neboli posloupnost.

Funkce f : X → je omezená na A, právě když existuje M > 0 takové, že platí:

Nechť f,g jsou reálné funkce definované na množině X. Potom součet, rozdíl, součin a podíl funkcí f,g jsou reálné funkce, které definujeme následujícím způsobem: