MA06 – Řady

Matematická analýza, kapitola šestá, řady, řady s kladnými členy, řady se střídavými znaménky, kritéria konvergence.

Pro posloupnost reálných čísel {ak} definujeme

MA0601

jako částečný součet řady. Pokud dále platí, že

MA0602

tedy existuje vlastní limita {sn}, pak hovoříme o tom, že řada MA0603konverguje k s. Ve všech ostatních případech říkáme, že řada diverguje (tedy je rovno plus/mínus nekonečnu anebo součet neexistuje), je-li s = ±∞, pak diverguje k ±∞. Číslo s nazýváme součet řady, čísla ak pak členy řady a symboly nadsumační a podsumační nazýváme meze sčítání.

Řady s kladnými členy

Definice 1 (srovnávací kritérium): Platí-li pro členy řad ∑an, ∑bn nerovnost a≤ bn, pak říkáme, ře řada  ∑an je minorantní řadou k řadě ∑bn a ∑bn je majorantní řadou k  ∑an.

Příklad: Platí, že 0 < n ≤n!, a dále n! → +∞ a (n!)-1 → 0, pak je patrné, že řada

MA0604

je konvergentní. Použijeme nepřesný ale názorný přepis řady, kde je patrná majorantní řada i odhad součtu:

MA0605

Definice 2 (odmocninové kritérium): Řada ∑an konverguje, pokud pro číslo q, 0 ≤ q < 1 platí √an ≤ q.

Definice 3 (podílové kritérium): Řada ∑an konverguje, pokud pro číslo q, 0 ≤ q < 1 platí

MA0606

Definice 4 (Raabeho kritérium): Řada ∑an konverguje, pokud pro číslo q, q > 1 platí

MA0607

Řady se střídavými znaménky

Definice 5 (kritérium pro alterující řady): Řada ∑an konverguje, pokud pro alternující řadu a– aaa+… a≥ 0 platí

MA0608

Příklad: Jen si ukážeme řadu, jejíž součet je roven hodnotě π/4

MA0609


MA05 – Posloupnosti – příklady
Share on FacebookTweet about this on TwitterShare on Google+

Napsat komentář

Vaše emailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *