MA06 – Řady

Matematická analýza, kapitola šestá, řady, řady s kladnými členy, řady se střídavými znaménky, kritéria konvergence.

Pro posloupnost reálných čísel {a_k} definujeme

jako částečný součet řady. Pokud dále platí, že

tedy existuje vlastní limita {s_n}, pak hovoříme o tom, že řada konverguje k s. Ve všech ostatních případech říkáme, že řada diverguje (tedy s  je rovno plus/mínus nekonečnu anebo součet neexistuje), je-li s = ±∞, pak diverguje k ±∞. Číslo s nazýváme součet řady, čísla a_k pak členy řady a symboly nadsumační a podsumační nazýváme meze sčítání.

Řady s kladnými členy

Definice 1 (srovnávací kritérium): Platí-li pro členy řad ∑an, ∑bn nerovnost an ≤ bn, pak říkáme, ře řada  ∑an je minorantní řadou k řadě ∑bn a ∑bn je majorantní řadou k  ∑an.

Příklad: Platí, že 0 < n ≤n!, a dále n! → +∞ a (n!)^-1 → 0, pak je patrné, že řada

je konvergentní. Použijeme nepřesný ale názorný přepis řady, kde je patrná majorantní řada i odhad součtu:

Definice 2 (odmocninové kritérium): Řada ∑an konverguje, pokud pro číslo q, 0 ≤ q < 1 platí √an ≤ q.

Definice 3 (podílové kritérium): Řada ∑an konverguje, pokud pro číslo q, 0 ≤ q < 1 platí

Definice 4 (Raabeho kritérium): Řada ∑an konverguje, pokud pro číslo q, q > 1 platí

Řady se střídavými znaménky

Definice 5 (kritérium pro alterující řady): Řada ∑an konverguje, pokud pro alternující řadu a1 – a2 + a3 – a4 +… an ≥ 0 platí

Příklad: Jen si ukážeme řadu, jejíž součet je roven hodnotě π/4

MA05 – Posloupnosti – příklady

Facebook

Twitter