Pro 05

MA 04 – Posloupnosti – věty o limitách

Matematická analýza, kapitola čtvrtá, věty o limitách.

Základní věty

Věta 1: Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.

Věta 2: Nechť pro dvě posloupnosti an a bn, n ∈ MA01N existuje n1 ∈ MA01Ntakové, že an = bn, pro každé n > n1. Potom platí :

  • posloupnost an je omezená tehdy a jen tehdy, když je omezená i posloupnost bn
  • posloupnost an má limitu a tehdy a jen tehdy, když posloupnost bn má limitu a (jedná se o reálné či komplexní číslo, anebo ±∞)

Věta 3: Limita posloupnosti (a omezenost) není závislá na konečném počtu jejích členů. (vyplývá to z věty 2.)

Continue reading

Pro 03

LISA Pathfinder dnes odstartovala

Dnes, 3. 12. 5:04 středoevrospkého času odstartovala družice LISA Pathfinder z evropského kosmodromu ve Francouzské Guyaně. Její start ukazuje následující video. Tato družice je první krok k vybudování experimentálního dalekohledu, který by měl být schopen detekovat gravitační vlny (viz článek Gravitační vlny).

Pro 02

Gravitační vlny

Gravitační vlna je vlna zakřivení časoprostoru. Albert Einstein je předpověděl v roce 1916, jejich existence byla potvrzena v loňském roce. Vznikají vzájemným pohybem těles v daném gravitačním poli, tedy například při výbuchu supernovy, u dvojhvězd, případně systémy, ve kterých je jedna složka buď neutronová hvězda anebo černá díra. Nejsilnější gravitační vlny vznikají v případě srážky neutronových hvězd či splynutím černých děr.

 

Lis 29

MA 03 – Posloupnosti – limita posloupnosti

Matematická analýza, kapitola třetí, posloupnosti, limita posloupnosti a její variace – vlastní, nevlastní, žádná.

Posloupnost

Posloupnost prvků množiny A je zobrazení f množiny MA01N do množina A. Zápis n → f(n), n ∈ N se pro posloupnosti nepoužívá, ale běžné jsou následující typy označení:

MA03posl

Prvky označené aknazýváme členy neboli prvky posloupnosti. 

Příklad: 

MA03pr01

Continue reading

Lis 24

Obrácení pólů Země neznamená konec světa

Pokud by došlo k obrácení magnetických pólů planety Země, neznamenalo by to konec světa. Oslabování magnetického pole Země paradoxně znamená spíše návrat do normálního stavu. V současné době je síla magnetického pole planety Země slabší o přibližně 10% oproti stavu v době, odkdy se tato hodnota sleduje, tedy od 19. století.

Zeme_magnet

Continue reading

Lis 23

Phobos se rozpadne a vytvoří prstenec kolem Marsu

Nejnovější simulace naznačují, že Phobos, měsíc planety Mars, se pod tlakem rozpadá. Nakonec by se měl zcela rozpadnout a utvořit kolem planety Mars prstenec prachu a kamení.

Phobos

Měsíc Phobos je pravděpodobně velmi křehký. Benjamin Black a Tushar Mittal, oba planetární vědci z University of California v Berkeley, zveřejnili 23. listopadu 2015 svou studii v Nature Geoscience, kde se uvádí, že samotný rozpad Phobosu bude trvat dalších 20 až 40 milionů let, než se utvoří kolem Marsu prstenec. Jakýkoliv větší zbytek měsíce pak může přímo spadnout na Mars a způsobit vznik nového kráteru.

Ve svých závěrech uvádějí, že prstenec bude přetrvávat 106 až 108 let a bude mít zpočátku srovnatelné vlastnosti jako Saturnův prstenec.

Lis 23

MA 02 – Základní pojmy – zobrazení

Matematická analýza, kapitola druhá, vymezení základních pojmů z oblasti zobrazení.

Zobrazení

Mějme X, Y neprázdné množiny, předpis f přiřazuje každému x ∈ X nějaký prvek y ∈ Y. Zpravidla tento prvek y značíme jako f(x). Každý takový předpis je pak nazýván zobrazení množiny X do množiny Y. Matematicky jej značíme buď f : X → Y, anebo f : x → f(x), x ∈ X. Obecně tedy máme X,Y ≠ ∅ a nechť f ⊂ X × Y, pro kterou platí:

  1. (∀x ∈ X)(∃y ∈ Y)((x,y) ∈ f)
  2. (((x,y1) ∈ f) ∧ ((x,y2) ∈ f)) ⇒ y1 = y2

Je zapotřebí si uvědomit, že zobrazení je vždy určeno na dané množině, proto f : x → x², x ∈ (0,1) a g : x → x², x ∈ (0,2), jsou dvě rozdílná zobrazení.

Continue reading

Lis 22

MA 01 – Základní pojmy

Matematická analýza, kapitola první, vymezení základních pojmů z oblasti logiky, množin a reálných čísel.

Logika

Základní způsob vyjadřování v matematice je pomocí výroků. Výrok může být buď pravdivý, má tedy hodnotu 1 anebo nepravdivý a má hodnotu 0. Negace tohoto výroku A se značí například non A anebo ¬A.

S výroky lze provádět čtyři základní operace – konjunkce, disjunkce, implikace a ekvivalence. Konjunkci (∧) odpovídá spojka a, disjunkci (∨) odpovídá spojka nebo či alternativa. Implikace je znázorněna znakem ⇒, ekvivalence pak ⇔.
bool Continue reading

Lis 20

Nový nejvzdálenější objekt sluneční soustavy

Nejvzdálenější objekt sluneční soustavy je trpasličí planeta V774104. Její vzdálenost od Slunce je přibližně 103 krát větší než vzdálenost Země od Slunce. Sondě New Horizon trvalo 9 a půl let než doletěla k Plutu. K trpasličí planetě V774104 by jí to trvalo dalších 20 let.

eris

Nově objevený objekt V774104 je prozatím nejvzdálenější ve sluneční soustavě a porazí předchozí rekordmany, například trpasličí planetu Eris a její měsíc Dysnomia (obrázek). Vzdálenost nově objevené trpasličí planety je 15,4 miliard kilometrů od Slunce. Její velikost je přibližně 500 kilometrů a odhadem odráží přibližně 15% slunečního světla, které na něj dopadá.

Lis 15

Fyzikální drobky 1 – hmota a pohyb

Následující kapitoly (Fyzikální drobky) představují základní vhled do teorie fyziky. Níže uvedené znalosti jsou základ a bez nich se neobejdeme. Cílem této kapitoly není do detailu vysvětlovat jednotlivé termíny, ale jen prověřit jejich znalost.

Continue reading